■𝜃𝜃=(𝑖𝑖/2𝑛𝑛)𝜋𝜋におけるFLSCは式(2)によって定義できるが，シミュレーションに導入するためには，𝜃𝜃についてもるために，定義した𝑛𝑛+1個のFLSCについて，3次スプライン関数𝑓𝑓𝑖𝑖(𝜃𝜃)によって内挿補間すると，FLSCは式(3)のよ𝐹𝐹(𝜃𝜃,𝑡𝑡) = ∑𝑓𝑓𝑖𝑖(𝜃𝜃){(1−𝑡𝑡)3𝐴𝐴𝑖𝑖+3(1−𝑡𝑡)2𝑡𝑡𝐷𝐷𝑖𝑖}+3(1−𝑡𝑡)𝑡𝑡2𝐸𝐸𝑖𝑖+𝑡𝑡3𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=0i番目（i = 1, 2, … n+1）の規格化された成形限界応力線a，b，c，dは任意の係数である． 𝐹𝐹𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑡𝑡)=(1−𝑡𝑡)3𝐴𝐴𝑎𝑎𝑖𝑖+3(1−𝑡𝑡)2𝑡𝑡𝐷𝐷𝑎𝑎𝑖𝑖+3(1−𝑡𝑡)𝑡𝑡2𝐸𝐸𝑎𝑎𝑖𝑖+𝑡𝑡3𝐶𝐶𝑎𝑎𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡)=(1−𝑡𝑡)3𝐴𝐴𝑏𝑏𝑖𝑖+3(1−𝑡𝑡)2𝑡𝑡𝐷𝐷𝑏𝑏𝑖𝑖+3(1−𝑡𝑡)𝑡𝑡2𝐸𝐸𝑏𝑏𝑖𝑖+𝑡𝑡3𝐶𝐶𝑏𝑏𝑖𝑖 スプライン関数𝑓𝑓𝑖𝑖(𝜃𝜃)は次のように表せる． 𝑓𝑓𝑖𝑖(𝜃𝜃)=𝑎𝑎𝑖𝑖+𝑏𝑏𝑖𝑖(𝜃𝜃−𝜃𝜃𝑖𝑖)+𝑐𝑐𝑖𝑖(𝜃𝜃−𝜃𝜃𝑖𝑖)2+𝑑𝑑𝑖𝑖(𝜃𝜃−𝜃𝜃𝑖𝑖)3このとき，2つの3次ベジエ曲線は式(7)，(8)のように記述できる． ベジェ曲線のパラメータの同定は各θで定義されるFLSCの3次ベジェ曲線の制御点Ai，Ci，Di，Eiを定めることと同値である．Aai，Cbiは元のデータから直接求めることができる．Dai，Eai，Cai, Abi，Dbi，Ebi はExcelのソルバー機能を用いて，それぞれのtにおける主応力と計算値との差が最小になるよう決定した．ただし，平面ひずみにおいて同一の成形限界応力となる必要があることからCai = Abiとした． ■・ 定式結果■FLSSの表現精度に及ぼす分割数の影響を明らかにするために，n = 8とn = 2のスプライン関数を求めた（図図 7）．図図 8に成形限界応力とベジェ曲線およびスプライン関数を用いた近似結果を示す．n = 8とn = 2の両条件にて入力パラメータであるθ = 0, 45, 90 °は入力値を精度良く表現した．θ = 22.5, 67.5 ° においては，n = 8では入力パラメータである一方で，n = 2は予測データである．すなわち，n = 2を用いても，FLSSを精度よく表現可能であった． ３．成形限界応力線の定式化の検討 (2) ■・■■定式方法■実験や成形限界解析で得られるFLSSは離散値であるから有限要素解析ソフトウェアに直接導入するのは困難である．有限要素解析ソフトウェア上で割れを判定するためには定式化が必要である．蔦森ら19)の降伏関数のモデリング手法を参考に，3次ベジエ曲線と３次スプライン関数を組み合わせ，FLSSの定式化を行った． 平面応力状態を仮定し，2次元主応力空間における成形限界応力線𝛴𝛴={𝜎𝜎1,𝜎𝜎2}𝑇𝑇の定式を考える．材料の面内異方圧延方向からの角度0≦𝜃𝜃≦𝜋𝜋/2をn等分し，その方向を𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑡𝑡)の最大主応力𝜎𝜎1の方向は材料の圧延方向に対して(𝑖𝑖/2𝑛𝑛)𝜋𝜋の角度をなしており，𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑡𝑡)は式(2)のように記述す 𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑡𝑡)=(1−𝑡𝑡)3𝐴𝐴𝑖𝑖+3(1−𝑡𝑡)2𝑡𝑡𝐷𝐷𝑖𝑖+3(1−𝑡𝑡)𝑡𝑡2𝐸𝐸𝑖𝑖+𝑡𝑡3𝐶𝐶𝑖𝑖 ここで，𝐴𝐴𝑖𝑖，𝐶𝐶𝑖𝑖，𝐷𝐷𝑖𝑖，𝐸𝐸𝑖𝑖は図図 6に示す3次ベジェ曲線の制𝐵𝐵𝑖𝑖は3次ベジェ曲線の制御点を定めるための位置ベクトルであり，直線𝐴𝐴𝑖𝑖 𝐷𝐷𝑖𝑖，直線𝐶𝐶𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖はそれぞれ点𝐴𝐴𝑖𝑖，𝐶𝐶𝑖𝑖で曲線に接している．tは0≦𝑡𝑡≦1の曲線制御パラメータである． 性に基づく，FLSCの主軸方向依存性を表現するために，最大主応力とするn + 1個のFLSCをベジェ曲線で定義する．そしてそれらをスプライン関数で内挿することで，FLSSを表現する． る． 御点の位置ベクトルである．式には含まれないが，図 6の図図 6 3次ベジェ曲線の概念図 連続量にする必要がある．任意の角度θのFLSCを表現すうになる． t の定義方法に任意性がある．s = εp2 / εp1と定義すると，tは式(5)，(6)のように記述できる．εp1 ，εp2はそれぞれ1，2方向の塑性ひずみとする．本研究では，2つの3次ベジエ曲線を接続してFLSCを定義した． s < 0のとき（単軸～平面ひずみ） t = s + 1 s ≧ 0のとき（平面ひずみ～等二軸） t = s s < 0のとき s ≧ 0のとき (3) (4) (5) (6) (7) (8) − 343 −
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