𝜌𝜌𝜕𝜕𝛹𝛹̇𝜕𝜕𝜕𝜕=𝑐𝑐55(𝜕𝜕𝑤𝑤̇𝜕𝜕𝜕𝜕−𝜕𝜕𝑢𝑢̇𝜕𝜕𝜕𝜕) 𝛷𝛷̇ =∂𝛷𝛷/∂t，𝛹𝛹̇=∂Ψ/∂t■である．ここでρ𝛷𝛷̇ と■ρ 𝛹𝛹̇は圧力の𝜌𝜌𝜕𝜕2𝛷𝛷𝜕𝜕𝜕𝜕2−𝑐𝑐11(𝜕𝜕2𝛷𝛷𝜕𝜕𝜕𝜕2+𝜕𝜕2𝛷𝛷𝜕𝜕𝜕𝜕2)=0 𝜌𝜌𝜕𝜕2𝛹𝛹𝜕𝜕𝜕𝜕2−𝑐𝑐55(𝜕𝜕2𝛹𝛹𝜕𝜕𝜕𝜕2+𝜕𝜕2𝛹𝛹𝜕𝜕𝜕𝜕2)=0 式(10)は音速cl=√c11/ρで伝播する縦波の波動方程式を，式(11)は音速cs=√c55/ρ で伝播する横波の波動方程式を表 本研究では，式(10)， (11)で示した波動方程式では無く，粒子速度の1階の微分方程式である式(6)， (7)とスカラ・..w.u. 式() ()を時間で偏微分すると ■式(6),(7)はそれぞれ縦波および横波の伝播を表し，■ kzx i図3に示すように，超音波探触子から金型に入射した超音波は，塑性変形を伴わず，弾性波として媒質内を伝播する．等方性を有する媒質において，y方向の音場が一様とした場合の弾性波の基礎式を(1), (2)に示す5)～7),15),16)．式(1)はフックの法則，式(2)は粒子の運動方程式である． 図3■金型内の超音波伝播 u.(n+1)Δtu.(n-1)u.zDk-1/2..Velocity potential図4■FDTD法の計算格子 x， z方向の格子番号，nは時間ステップ数を表す． ３．■■■■法による超音波伝播解析■また，式()～()より■Particle velocityΔtΔtΔt速度ポテンシャル＝＝1, 2, 3 を用いて表すと，下式のようになる15),16)． 記のように表せる．ただしΨ=Ψ2 として再定義している． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) FDTD法を薄板のプレス加工に適用する場合，その精度単位を持ち，それぞれスカラ速度ポテンシャル圧力，ベクトル速度ポテンシャル圧力と定義した． す．したがってスカラ速度ポテンシャルΦとベクトル速度ポテンシャルΨはそれぞれ独立して波動方程式を満たすことが分かる． 伝播解析にはFDTD法5)～12)を用いた．FDTD法は主に電磁場解析に用いられてきた．この手法を固体内の弾性波伝播シミュレーションに適用した．本計算法では，空間および時間領域で弾性波の式を差分方程式に展開して逐次計算を行い，弾性波の時間応答が計算できる12)． k+1k+1/2k-1i-1ベクトル速度ポテンシャルの時間微分Φ ̇，Ψ ̇に関する1先にも述べたようにスカラ速度ポテンシャル応力ρΦ̇ およびベクトル速度ポテンシャル応力ρΨ̇は応力の単位を有速度の配置を示す．空間領域では食違い格子を用い，Φ ̇およびΨ ̇と粒子速度は異なる格子点に配置されている．一方，時間領域では図4(b)に示すように蛙跳び差分を用いてΦ ̇およびΨ ̇と粒子速度を交互に計算を行う．ここでi， kは階の微分方程式である式(8)， (9)にFDTD法を適用した．し，それぞれ垂直応力，せん断応力に相当する．図4 (a) には等間隔計算格子の場合の速度ポテンシャルおよび粒子(b) Calculation procedure of stress and particle velocity in time domain(a) Spatial lattice(n-1)D xi-1/2i+1/2i+1(n-1/2)(n+1/2)(9) (10) (11) − 167 −𝜕𝜕𝑢𝑢̇𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑤𝑤̇𝜕𝜕𝜕𝜕[ 𝜕𝜕𝑢𝑢̇𝜕𝜕𝜕𝜕+𝜕𝜕𝑤𝑤̇𝜕𝜕𝜕𝜕] ■0𝑐𝑐13𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕[𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧𝑇𝑇𝑥𝑥𝑧𝑧]=[𝑐𝑐110𝑐𝑐33𝑐𝑐13𝑐𝑐55]00𝜌𝜌𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕[𝑢𝑢̇𝑤𝑤̇]=[𝜕𝜕𝑇𝑇𝑥𝑥𝑥𝑥𝜕𝜕𝜕𝜕+𝜕𝜕𝑇𝑇𝑥𝑥𝑧𝑧𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧𝜕𝜕𝜕𝜕+𝜕𝜕𝑇𝑇𝑥𝑥𝑧𝑧𝜕𝜕𝜕𝜕] u̇=[u̇,v̇,ẇ]をスカラ速度ポテンシャル およびベクトル𝒖𝒖̇=grad𝛷𝛷+rot𝜳𝜳 ■ここでy方向の音場が一様すると，x，z方向の速度u̇ ẇは下𝑢𝑢̇=𝜕𝜕𝛷𝛷𝜕𝜕𝜕𝜕−𝜕𝜕𝛹𝛹𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑤𝑤̇=𝜕𝜕𝛷𝛷𝜕𝜕𝜕𝜕+𝜕𝜕𝛹𝛹𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑢𝑢̇𝜕𝜕𝜕𝜕=𝜕𝜕𝛷𝛷̇𝜕𝜕𝜕𝜕−𝜕𝜕𝛹𝛹̇𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑤𝑤̇𝜕𝜕𝜕𝜕=𝜕𝜕𝛷𝛷̇𝜕𝜕𝜕𝜕+𝜕𝜕𝛹𝛹̇𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜌𝜌𝜕𝜕𝛷𝛷̇𝜕𝜕𝜕𝜕=𝑐𝑐11(𝜕𝜕𝑢𝑢̇𝜕𝜕𝜕𝜕+𝜕𝜕𝑤𝑤̇𝜕𝜕𝜕𝜕)
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